前言

李昊陽（女）現鄭州五中高三學生。我是昊陽爸爸李永安，工人身份。愛好四色定理多年，因思維固守，始終沒有大的突破。由于孩子對此課題極感興趣，覺得比電子游戲好玩兒。論思維和記憶都比我強。是昊陽另辟路徑，發現了四色問題新構形。經過努力，關鍵時候常請假。我幫助查資料和驗證。終于證明出了正規地圖除六，七，八鄰國外的所有鄰國組成的任意地圖著四色足夠。就是說僅剩下由六，七，八鄰國所參與的地圖不可完全被四色證明。因此本課題稱為四色定理新突破。

在這里要特別敬謝中科院數學研究所的王元老師及各位老師們在三十七年前對我的精心指導和熱心幫助。

現證明：當正規地圖附合以下歐拉公式:F5=12+3F9+4F10+……同時又要求每個相鄰國的顏色都不相同的正規地圖四色定理必然成立。公式中:F5表示5鄰國個數，又稱5鄰圖個數。F9表示9鄰圖個數，F10表示10鄰圖個數等。在以下各圖中，分別用1,2,3,4表示四種顏色，a，b，c，d，e，m表示國家名稱，即圖名。紅線和綠線表示肯普鏈，各圖外的紅；藍方塊表示其他圖。因在四色定理的證明過程中，最大的難度就是色鏈的交叉，簡稱肯普交鏈。如圖R中: 即紅線4-2色鏈與綠線4-1色鏈交叉。

而以下分兩步來證明F5=12+3F9+4F10+……的正規地圖四色定理必然成立。

（一）.鳳尾圖換色法。鳳尾圖換色法可解決肯普交鏈難題。我們定義一個5鄰圖m緊鄰4個5鄰圖之圖為鳳尾圖，而又可稱m為鳳尾圖且又為鳳尾圖的核心。如下圖1至圖6。 5鄰圖m分別緊鄰a,d,b,e,四個5鄰圖。另外m又鄰一個圖c，而s為正整數，表示與c圖的鄰國數。當s=0時，c也是5鄰圖，當s＞0時c為多鄰圖。無論s等于多少其并不影響以下的色鏈交換和證明。在鳳尾圖中經過以下a，b，c，d，e之順序進行色鏈交換，以下我們假令在對鳳尾圖的換色過程中存在肯普交鏈如圖1至圖5中的紅線色鏈與綠線色鏈的交叉。為了方便，以下圖1至圖4中的肯普交鏈只許顯現一條紅線色鏈而把綠線色鏈暫時隱去。，但最終都會出現一條紅線色鏈僅僅環圍a，b，d，e中的其中一個色圖。如此就絕對消除了肯普交鏈。如下圖5中.紅線a1-b3色鏈僅僅環圍一個色圖d2。如此則必有鳳尾圖的四色可約。而根據色鏈換色原理:即1-2色鏈交換通不過3-4色鏈等，反者同理。如圖1中的紅線d2-c4色鏈且又阻擋色鏈a3-1通過。由此在進行a3-1這條色鏈交換時僅在紅方塊圖中變換而本圖中其它色不變。這就變成了圖2。

同理在圖2中，若紅色d2-e3色鏈不通，則圖2可約。現令紅線d2-e3色鏈通則環圍b1-4色鏈。而在交換b1-4這條色鏈時僅在紅方塊圖范圍變換而本圖的其它色不變，這就成了圖3。

圖3中又若紅線a1-e3色鏈不通則圖3可約。現令紅線a1-e3色鏈通且環圍色鏈c4-2，則在進行c4-2這條色鏈交換時僅影響紅色方塊圖而本圖其它色不變，就變換成了圖4.

圖4中已形成了紅線2-1色鏈僅環圍色e3-b4兩個色，在交換色e3-b4時其它圖之色不變，這就成了圖5.

圖5中由于紅線a1-b3僅僅環圍一個圖色d2.這就絕對消除了肯普交鏈。

圖5中把綠線a1-e4色鏈顯現出來若不通則圖5即刻可約。現令綠線a1-e4色鏈通且又不可能與a1-b3紅線色鏈交叉，則可把色d2換為色d4和把色c2換成色c3，則m自然可換成色2。如圖6。因此證得本鳳尾圖四色可約。同理無論鳳尾圖中的色位如何排布，經過如此換色都必然得出同樣結果。

（二），現證：鳳尾四色可約圖在F5=12+3F9+4F10+……地圖中必有不可避免集。現暫證鳳尾四色可約圖在F5=12+3F9地圖中必然存在不可避免集。

在以下圖a1,圖a2和圖a3中，小f代表各個國家，如f5表示本圖為5鄰圖等。圖a1中f9周圍有9個紅色3鄰圖f3。（1）.若以圖f3為基礎，繼續向外布圖，使全部或個別的f3 布成f9，則新的f9外同樣必然會出現新的f3組。一直到布完這張地圖還是如此，這與我們的F5=12+3F9地圖矛盾。

（2）.把圖a1中的紅色圖f3在藍色圖的輔助下都布成f5，則新的紅色f5圖外所鄰圖必然是紅色圖f4，如圖a2。

如此在藍色圖的輔助下再把個別f4或全部f4布成f9而新的f9外所鄰仍是f3組。這又與：F5=12+3f9地圖矛盾。

若不如此則把紅色f4圖外布一個紅色Q圖，則紅色Q圖必然是9鄰圖，而紅色f4圖自然就變成了紅色f5圖。則紅色5鄰圖m同時緊鄰4個紅色圖f5。這就自然形成了鳳尾圖m。無論怎么布圖循還，只要符合：F5=12+3F9地圖就必然有鳳尾圖的不可避免集，如圖a3。故鳳尾圖在地圖：F5=12+3f9中必然存在不可避免集成立。同理鳳尾圖m在：F5=12+3f9+4f10+……地圖中也必然存在不可避免集也成立。總之這是不可避免集規律，既然是規律，無論是在布圖中還是在自然形成的圖中，鳳尾圖都是不可避免集。又因鳳尾圖是可約構形圖。因此F5=12+3f9+4f10+……四色定理也必然成立。由于F2，F3和F4都是可約圖，則4F2+3F3+2F4+F5=12+3F9+4F10+……地圖四色定理同樣成立。證畢。

附：F5=12+3F9+4F10+......的任意地圖之涂色法。

暫論F5=12+3F9涂色法

先看下圖k：很顯然在圖k中每個鳳尾圖都由綠色5鄰圖相連接。所以用坍塌技術可使圖K中各圖完全坍塌。坍塌技術是先從每個鳳尾圖中的m圖開始，再陸續坍塌與鳳尾圖連起來的所有綠色5鄰圖。很顯然所剩余的圖都可全部坍塌了。依次到最后一個圖，除m圖外所有新坍塌圖之鄰邊都不大于4鄰邊。再按此順序倒回來涂色。因在此涂色所鄰之邊都不大于4，因不大于4的涂色領邊都可約，故涂四種顏色滿足。直到最后所剩的m圖是五鄰邊，因圖m四色可約，故涂色成功。又假設把各鳳尾圖的連接斷開，就是把其中的綠色5鄰圖變成9鄰圖，而9鄰圖無論怎樣向前擴展變換。只要保持F5=12+3F9地圖性質不變，必然會出現新的鳳尾圖。再從新的鳳尾圖坍塌回來。此9鄰圖就又變成了5鄰圖且又使原來的鳳尾圖連接了起來。故F5=12+3F9的任意地圖必可全部坍塌。因此涂色成功。

同理可涂：F5=12+3F9+4F10+……的任意地圖涂色且同樣都不超過4種顏色，涂色完成。

2023年04月18日于鄭州